Liczby binarne - ułamkowy zapis

Dziękuje za komentarze pod poprzednim wpisem na temat liczb binarnych :) Ten wpis, choć może krótszy niż poprzednik można po części uznać za jego kontynuację. Ale co czym będzie mowa? Otóż chciałbym opisać ułamki, gdyż takowe jak wiadomo są również obecne w systemie dziesiętnym i jak się często słyszy “coś” z tym trzeba zrobić :P No więc zróbmy.

Oto przykładowy ułamek o podstawie b

Tutaj warto przypomnieć o pojęciu “pozycji” wprowadzonej w pierwszym wpisie. Otóż mieliśmy tam liczbę i nadane jej “pozycje”.

Jakie pozycje zatem będzie miał ułamek, skoro zaczynaliśmy od 0? Otóż z tym jest troszkę odwrotnie niż z układem współrzędnych.

Wyobraźmy sobie oś X tego układu i punkt 0 na tej os. Gdy poruszmy się w prawo mamy punkty dodatnie, gdy natomiast pójdziemy w lewą stronę będziemy mieli wartości ujemne.

Tutaj jest odwrotnie. Jak można zauważyć poruszając się w lewo (traktując cyfrę jedności liczby jako punkt 0 układu współrzędnych) nadajemy pozycje dodatnie. Zgodnie z tym co napisałem, że jest to procedura odwrotna do układu kartezjańskiego idąc w stronę prawą nadamy pozycjom oznaczenia “ujemne”.

Dla łatwiejszego zrozumienia dopiszmy wcześniejszy ułamek do naszej liczby.

Określimy teraz poszczególne pozycje naszej nowej liczby.

Niebieskim X oznaczono pozycję części ułamkowej. Zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami nadajmy jej odpowiednie pozycje:

Dobrze, skoro teraz jest to rozpisane, zajmijmy się jedynie samą częścią ułamkową

Aby rozpisać sobie ten ułamek podobnie jak zrobiliśmy to z częścią całkowitą we wpisie z informacjami podstawowymi przypomnijmy schemat

W przypadku części ułamkowej podobnie postępujemy z ułamkiem, z tą różnicą, że zamiast dodatniej potęgi jako wykładnik stosujemy jej “ ujemną” wersję. Jest to z resztą zgodne z jej pozycją. Zatem

Oczywiście b to dowolna baza.

Ułamek dziesiętny, a jego binarny odpowiednik

Oczywiście nie można do liczby binarnej dopisać od tak ułamka w innej postaci,. Dlatego należy go najpierw również “przerobić” na odpowiedni - binarny system zapisu. Jak tego dokonać? Istnieje i na to sposób :) Tworzymy podobnie jak poprzednio tabelę:

I tak w polu "część ułamkowa" wpisujemy nasz ułamek w postaci dziesiętnej, następnie dokonujemy obliczeń mnożąc liczbę z kolumny "część ułamkowa" przez bazę naszego zapisu (system binarny - 2). Następnie część całkowitą z pozycji "obliczenia" wpisujemy jako bit, a część ułamkową w pole "reszta" oraz do następnego wiersza w kolumnie "część ułamkowa". Operacje powtarzamy dopóty, dopóki "reszta" nie wynosi 0.

Spróbujmy zamienić nasz ułamek. kolorem czerwonym zaznaczono część całkowitą, kolorem niebieskim część ułamkową. Strzałka wskazuje kierunek zapisu bitów.

Jak można zauważyć wynik ostatniej kolumny pokrywa się z kolejnym wierszami pierwszej, natomiast trzecia kolumna pokrywa się z częścią całkowitą wyniku kolumny drugiej, tak więc dla szybszych obliczeń, gdy już nabierzemy wprawy możemy zmniejszyć tabelę do postaci

Tak więc mamy, że

Sprawdźmy nasz wynik

Więc nasz wynik się zgadza.

Problemy naturalne

Niestety nie zawsze jest tak różowo. Niemniej jednak jesteśmy do tego przyzwyczajeni. Otóż nie zawsze każdy ułamek naturalny da się zamienić na ułamek dziesiętny. Tak samo nie każdy ułamek dziesiętny da się z łatwością zamienić na ułamek binarny ze skończoną liczbą bitów. Powód jest ten sam. Jego okresowość. Weźmy dla przykładu ułamek

Otóż ułamek jest nieskończenie okresowy przez co nie da się go zapisać “czysto” w postaci dziesiętnej. Podobnie

Tutaj niby jest lepiej, mamy przecież pewne 0.1. Niemniej jednak okres także występuje. Ten sam problem dotyczy konwersji ułamka na ułamek w postaci binarnej. Weźmy przykładowy ułamek

i zamieńmy go tak jak wcześniej na postać binarną.

Jak widać i tutaj mamy okresowość. W związku z tym zapiszemy nasz ułamek podobnie jak w przypadku ułamka dziesiętnego z okresem.

Zapis liczby całkowitej i ułamka

No dobrze na koniec pozostaje wprawdzie błaha rzecz, jednak i tutaj czasem zdarzają się pomyłki. Podsumujmy. Wiemy, że

Jak wiadomo w systemie liczb dziesiętnych

W przypadku liczb binarnych jest identycznie i mamy:

Oczywiście każdy ma własne zdanie dotyczące danych kwestii nie zamierzam go w żaden sposób podważać, czy obrażać kogokolwiek w jakikolwiek sposób. Przepraszam także za ewentualne błędy.